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Épisode 17 : Rencontre Bertrand
Il y a 2 ans
Dix-septième épisode de "La Quotidienne" ce mercredi 10 juin.
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Dix-septième épisode de "La Quotidienne" ce mercredi 10 juin.
Au contraire, il n’y a aucune contradiction à admettre la coexistence d’indéfinités multiples et de différents ordres : c’est ainsi que la ligne, indéfinie suivant une seule dimension, peut être considérée à cet égard comme constituant une indéfinité simple ou du premier ordre ; la surface, indéfinie suivant deux dimensions, et comprenant une indéfinité de lignes indéfinies, sera alors une indéfinité du second ordre, et l’étendue à trois dimensions, qui peut comprendre une indéfinité de surfaces indéfinies, sera de même une indéfinité du troisième ordre. Il est essentiel de remarquer ici encore que nous disons que la surface comprend une indéfinité de lignes, mais non pas qu’elle est constituée par une indéfinité de lignes, de même que la ligne n’est pas composée de points, mais en comprend une multitude indéfinie ; et il en est encore de même du volume par rapport aux surfaces, l’étendue à trois dimensions n’étant elle-même pas autre chose qu’un volume indéfini. C’est d’ailleurs là, au fond, ce que nous avons déjà dit plus haut au sujet des « indivisibles » et de la « composition du continu » ; les questions de ce genre, en raison de leur complexité même, sont de celles qui font le mieux sentir la nécessité d’un langage rigoureux. Ajoutons aussi à ce propos que, si l’on peut légitimement considérer, à un certain point de vue, la ligne comme engendrée par un point, la surface par une ligne et le volume par une surface, cela suppose essentiellement que ce point, cette ligne ou cette surface se déplacent par un mouvement continu, comprenant une indéfinité de positions successives ; et c’est là tout autre chose que de considérer ces positions prises isolément les unes des autres, c’est-à-dire les points, les lignes et les surfaces regardés comme fixes et déterminés, comme constituant respectivement des parties ou des éléments de la ligne, de la surface et du volume. De même, quand on considère, en sens inverse, une surface comme l’intersection de deux volumes, une ligne comme l’intersection de deux surfaces et un point comme l’intersection de deux lignes, il est bien entendu que ces intersections ne doivent nullement être conçues comme des parties communes à ces volumes, à ces surfaces ou à ces lignes ; elles en sont seulement, comme le disait Leibnitz, des limites ou des extrémités.
D’après ce que nous avons dit tout à l’heure, chaque dimension introduit en quelque sorte un nouveau degré d’indétermination dans l’étendue, c’est-à-dire dans le continu spatial considéré comme susceptible de croître indéfiniment en extension, et on obtient ainsi ce qu’on pourrait appeler des puissances successives de l’indéfini (1) ; et l’on peut dire aussi qu’une indéfinité d’un certain ordre ou à une certaine puissance contient une multitude indéfinie d’indéfinis d’un ordre inférieur ou à une puissance moindre. Tant qu’il n’est question en tout cela que d’indéfini, toutes ces considérations et celles du même genre demeurent donc parfaitement acceptables, car il n’y a aucune incompatibilité logique entre des indéfinités multiples et distinctes, qui, pour être indéfinies, n’en sont pas moins de nature essentiellement finie, donc parfaitement susceptibles de coexister, comme autant de possibilités particulières et déterminées, à l’intérieur de la Possibilité totale, qui seule est infinie, parce qu’elle est identique au Tout universel (2). Ces mêmes considérations ne prennent une forme impossible et absurde que par la confusion de l’indéfini avec l’infini ; ainsi, c’est bien là encore un des cas où, comme lorsqu’il s’agissait de la « multitude infinie », la contradiction inhérente à un prétendu infini déterminé cache, en la déformant jusqu’à la rendre méconnaissable, une autre idée qui n’a rien de contradictoire en elle-même.
Nous venons de parler de différents degrés d’indétermination des quantités dans le sens croissant ; c’est par cette même notion, envisagée dans le sens décroissant, que nous avons déjà justifié plus haut la considération des divers ordres de quantités infinitésimales, dont la possibilité se comprend ainsi plus facilement encore en observant la corrélation que nous avons signalée entre l’indéfiniment croissant et l’indéfiniment décroissant. Parmi les quantités indéfinies de différents ordres, celles d’un ordre autre que le premier sont toujours indéfinies par rapport à celles des ordres précédents aussi bien que par rapport aux quantités ordinaires ; il est tout aussi légitime de considérer de même, en sens inverse, des quantités infinitésimales de différents ordres, celles de chaque ordre étant infinitésimales, non seulement par rapport aux quantités ordinaires, mais encore par rapport aux quantités infinitésimales des ordres précédents (3). Il n’y a pas d’hétérogénéité absolue entre les quantités indéfinies et les quantités ordinaires, et il n’y en a pas davantage entre celles-ci et les quantités infinitésimales ; il n’y a là en somme que des différences de degré, non des différences de nature, puisque, en réalité, la considération de l’indéfini, de quelque ordre ou à quelque puissance que ce soit, ne nous fait jamais sortir du fini ; c’est encore la fausse conception de l’infini qui introduit en apparence, entre ces différents ordres de quantités, une hétérogénéité radicale qui, au fond, est tout à fait incompréhensible. En supprimant cette hétérogénéité, on établit ici une sorte de continuité, mais bien différente de celle que Leibnitz envisageait entre les variables et leurs limites, et beaucoup mieux fondée dans la réalité, car la distinction des quantités variables et des quantités fixes implique au contraire essentiellement une véritable différence de nature. »
1. Cf. Le Symbolisme de la Croix, ch. XII.
2. Cf. Les États multiples de l’être, ch. Ier.
3. Nous réservons, comme on le fait d’ailleurs le plus habituellement, la dénomination d’ « infinitésimales » aux quantités indéfiniment décroissantes, à l’exclusion des quantités indéfiniment croissantes, que, pour abréger, nous pouvons appeler simplement « indéfinies » ; il est assez singulier que Carnot ait réuni les unes et les autres sous le même nom d’ « infinitésimales », ce qui est contraire, non seulement à l’usage, mais au sens même que ce terme tire de sa formation. Tout en conservant le mot « infinitésimal » après en avoir défini la signification comme nous l’avons fait, nous ne pouvons d’ailleurs nous dispenser de faire remarquer que ce terme a le grave défaut de dériver visiblement du mot « infini », ce qui le rend fort peu adéquat à l’idée qu’il exprime réellement ; pour pouvoir l’employer ainsi sans inconvénient, il faut en quelque sorte oublier son origine, ou tout au moins ne lui attribuer qu’un caractère uniquement « historique », comme provenant en fait de la conception que Leibnitz se faisait de ses « fictions bien fondées ».
René Guénon, Les Principes du Calcul infinitésimal, ch. XX, pp. 116 à 120, éd. Gallimard, 1988.
« Ces observations permettent de comprendre d’une façon plus précise en quel sens on peut dire, comme nous l’avons fait au début, que les limites de l’indéfini ne peuvent jamais être atteintes par un procédé analytique, ou, en d’autres termes, que l’indéfini est, non pas inépuisable absolument et de quelque façon que ce soit, mais du moins inépuisable analytiquement. Nous devons naturellement considérer comme analytique, à cet égard, le procédé qui consisterait, pour reconstituer un tout, à prendre ses éléments distinctement et successivement : tel est le procédé de formation d’une somme arithmétique, et c’est en cela, précisément, que l’intégration en diffère essentiellement. Ceci est particulièrement intéressant à notre point de vue, car on voit là, par un exemple très net, ce que sont les véritables rapports de l’analyse et de la synthèse : contrairement à l’opinion courante, d’après laquelle l’analyse serait en quelque sorte préparatoire à la synthèse et conduirait à celle-ci, si bien qu’il faudrait toujours commencer par l’analyse, même quand on n’entend pas s’en tenir là, la vérité est qu’on ne peut jamais parvenir effectivement à la synthèse en partant de l’analyse ; toute synthèse, au vrai sens de ce mot, est pour ainsi dire quelque chose d’immédiat, qui n’est précédé d’aucune analyse et en est entièrement indépendant, comme l’intégration est une opération qui s’effectue d’un seul coup et qui ne présuppose nullement la considération d’éléments comparables à ceux d’une somme arithmétique ; et, comme cette somme arithmétique ne peut donner le moyen d’atteindre et d’épuiser l’indéfini, il est, dans tous les domaines, des choses qui résistent par leur nature même à toute analyse et dont la connaissance n’est possible que par la seule synthèse (1). »
1. Ici et dans ce qui va suivre, il doit être bien entendu que nous prenons les termes « analyse » et « synthèse » dans leur acception véritable et originelle, qu’il faut avoir bien soin de distinguer de celle, toute différente et assez impropre, dans laquelle on parle couramment de l’« analyse mathématique », et suivant laquelle l’intégration elle-même, en dépit de son caractère essentiellement synthétique, est regardée comme faisant partie de ce qu’on appelle l’ « analyse infinitésimale » ; c’est d’ailleurs pour cette raison que nous préférons éviter l’emploi de cette dernière expression, et nous servir seulement de celles de « calcul infinitésimal » et de « méthode infinitésimale », qui du moins ne sauraient prêter à aucune équivoque de ce genre.
Ibidem, ch. XXI, pp. 124 à 125.
« Ainsi, nous le répétons encore, la limite ne peut pas être atteinte dans la variation et comme terme de celle-ci ; elle n’est pas la dernière des valeurs que doit prendre la variable, et la conception d’une variation continue aboutissant à une « dernière valeur » ou à un « dernier état » serait aussi incompréhensible et contradictoire que celle d’une série indéfinie aboutissant à un « dernier terme », ou que celle de la division d’un ensemble continu aboutissant à des « derniers éléments ». La limite n’appartient donc pas à la série des valeurs successives de la variable ; elle est en dehors de cette série, et c’est pourquoi nous avons dit que le « passage à la limite » implique essentiellement une discontinuité. S’il en était autrement, nous serions en présence d’une indéfinité qui pourrait être épuisée analytiquement, et c’est ce qui ne peut pas avoir lieu ; mais c’est ici que la distinction que nous avons établie à cet égard prend toute son importance, car nous nous trouvons dans un des cas où il s’agit d’atteindre, suivant l’expression que nous avons déjà employée, les limites d’une certaine indéfinité ; ce n’est donc pas sans raison que le même mot de « limite » se retrouve, avec une autre acception plus spéciale, dans le cas particulier que nous envisageons maintenant. La limite d’une variable doit véritablement limiter, au sens général de ce mot, l’indéfinité des états ou des modifications possibles que comporte la définition de cette variable ; et c’est justement pour cela qu’il faut nécessairement qu’elle se trouve en dehors de ce qu’elle doit limiter ainsi. Il ne saurait être aucunement question d’épuiser cette indéfinité par le cours même de la variation qui la constitue ; ce dont il s’agit en réalité, c’est de passer au delà du domaine de cette variation, dans lequel la limite ne se trouve pas comprise, et c’est ce résultat qui est obtenu, non pas analytiquement et par degrés, mais synthétiquement et d’un seul coup, d’une façon en quelque sorte « soudaine » par laquelle se traduit la discontinuité qui se produit alors, par le passage des quantités variables aux quantités fixes (1).
La limite appartient essentiellement au domaine des quantités fixes : c’est pourquoi le « passage à la limite » exige logiquement la considération simultanée, dans la quantité, de deux modalités différentes, en quelque sorte superposées ; il n’est pas autre chose alors que le passage à la modalité supérieure, dans laquelle est pleinement réalisé ce qui, dans la modalité inférieure, n’existe qu’à l’état de simple tendance, et c’est là, pour employer la terminologie aristotélicienne, un véritable passage de la puissance à l’acte, ce qui n’a assurément rien de commun avec la simple « compensation d’erreurs » qu’envisageait Carnot. La notion mathématique de la limite implique, par sa définition même, un caractère de stabilité et d’équilibre, caractère qui est celui de quelque chose de permanent et de définitif, et qui ne peut évidemment être réalisé par les quantités en tant qu’on les considère, dans la modalité inférieure, comme essentiellement variables ; il ne peut donc jamais être atteint graduellement, mais il l’est immédiatement par le passage d’une modalité à l’autre, qui permet seul de supprimer tous les stades intermédiaires, parce qu’il comprend et enveloppe synthétiquement toute leur indéfinité, et par lequel ce qui n’était et ne pouvait être qu’une tendance dans les variables s’affirme et se fixe en un résultat réel et défini. Autrement, le « passage à la limite » serait toujours un illogisme pur et simple, car il est évident que, tant qu’on reste dans le domaine des variables, on ne peut obtenir cette fixité qui est le propre de la limite, où les quantités qui étaient considérées précédemment comme variables ont précisément perdu ce caractère transitoire et contingent. L’état des quantités variables est, en effet, un état éminemment transitoire et en quelque sorte imparfait, puisqu’il n’est que l’expression d’un « devenir », dont nous avons également trouvé l’idée au fond de la notion de l’indéfinité elle-même, qui est d’ailleurs étroitement liée à cet état de variation. Aussi le calcul ne peut-il être parfait, au sens de vraiment achevé, que lorsqu’il est parvenu à des résultats dans lesquels il n’entre plus rien de variable ni d’indéfini, mais seulement des quantités fixes et définies ; et nous avons déjà vu comment cela même est susceptible de s’appliquer, par transposition analogique, au delà de l’ordre quantitatif, qui n’a plus alors qu’une valeur de symbole, et jusque dans ce qui concerne directement la « réalisation » métaphysique de l’être. »
1. On pourra, à propos de ce caractère « soudain » ou « instantané », se rappeler ici, à titre de comparaison avec l’ordre des phénomènes naturels, l’exemple de la rupture d’une corde que nous avons donné plus haut : cette rupture est aussi la limite de la tension, mais elle n’est aucunement assimilable à une tension à quelque degré que ce soit.
Ibidem, ch. XXIV, pp. 136 à 138.
T un grand malade, grâce à Bertrand en tout cas il nous aura permis de connaitre le sestrel, la monnaie venue du ciel ! On dirait quand même un caillou non ? mouahh ahhh ahhh !
Et l'euro c'est du papier, ptetre on sait fait baiser aussi !!